Question

【题目】直线l：x﹣ty+1＝0（t＞0）和抛物线C：y2＝4x相交于不同两点A、B，设AB的中点为M，抛物线C的焦点为F，以MF为直径的圆与直线l相交另一点为N，且满足|MN||NF|，则直线l的方程为_____.

Answer 1

【答案】xy+1＝0

【解析】

求得抛物线的焦点F，联立直线l和抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，设N（ty0﹣1，y0），由NF⊥l，结合两直线垂直的条件，可得t，y0的关系式，再由两点的距离公式，化简整理可得t，可得所求直线方程.

y2＝4x的焦点为F（1，0），联立x﹣ty+1＝0与y2＝4x，可得y2﹣4ty+4＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

可得y1+y2＝4t，则中点M（2t2﹣1，2t），

设N（ty0﹣1，y0），由NF⊥l，可得t，即有y0，

由|MN||NF|可得，

即为，

结合，整理可得t6＝27，解得t，

可得直线l的方程为xy+1＝0.

故答案为：xy+1＝0.