Question

【题目】已知椭圆的一个焦点坐标为，一条斜率为的直线分别交轴于点，交椭圆于点，且点三等分．

（1）求该椭圆的方程；

（2）若是第一象限内椭圆上的点，其横坐标为2，过点的两条不同的直线分别交椭圆于点，且直线的斜率之积，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，定点．

【解析】

（1）分别设出点的坐标，用相关参数表示的坐标，代入椭圆方程，求出的值；

（2）设出直线的方程，利用条件求出相关参数关系，即可求得定点坐标．

（1）不妨设，则，

即，

则由题意知，或，

分别代入椭圆的方程得消去，整理得，

又，所以．

故该椭圆的方程为．

（2）由题意得，直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为，

代入椭圆的方程整理得，．

设，由根与系数的关系得，

由得，即，

所以，

即，

整理得，．

由求根公式得，，

故或．

若，则直线的方程为，

直线过点，即点，舍去．

若，则直线的方程为，恒过定点．