Question

已知函数.
(1) 当时，求函数的单调区间；
(2) 当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围．
(3) 求证：，(其中，是自然对数的底).

Answer 1

(1) 函数的单调递增区间为，单调递减区间为;(2) ．(3)详见解析.

试题分析：本小题主要通过函数与导数综合应用问题，具体涉及到用导数来研究函数的单调性等知识内容，考查考生的运算求解能力，推理论证能力，其中重点对导数对函数的描述进行考查，本题是一道难度较高且综合性较强的压轴题，也是一道关于数列拆分问题的典型例题，对今后此类问题的求解有很好的导向作用. (1)代入的值，明确函数解析式，并注明函数的定义域，然后利用求导研究函数的单调性；（2）利用构造函数思想，构造，然后利用转化思想，将问题转化为只需，下面通过对进行分类讨论进行研究函数的单调性，明确最值进而确定的取值范围.(3)首先利用裂项相消法将不等式的坐标进行拆分和整理，然后借助第二问的结论进行放缩证明不等式.
试题解析：：(1) 当时，，
，
由解得，由解得.
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.          (4分)
(2) 因函数图象上的点都在所表示的平面区域内，
则当时，不等式恒成立，即恒成立，、
设()，只需即可．
由，
(i) 当时， ，
当时，，函数在上单调递减，故成立． 
(ii) 当时，由，因，所以，
① 若，即时，在区间上，，
则函数在上单调递增，在上无最大值，当时，  ，此时不满足条件；
② 若，即时，函数在上单调递减，
在区间上单调递增，同样在上无最大值，当时， ，不满足条件．
(iii) 当时，由，∵，∴，
∴，故函数在上单调递减，故成立．
综上所述，实数a的取值范围是．                             (8分)
(3) 据(2)知当时，在上恒成立
(或另证在区间上恒成立)，
又，
因此



.
.                     (12分)