Question

【题目】已知是大于10的正整数，集合含有个元素，若集族满足以下两个条件，则称它是“合适的”：

（1）对任意；

（2）对任意，集合中至多含有一个元素。

对任意正整数，试求最大正整数，使得存在一个包含个集合的合适的集族。

Answer 1

【答案】4

【解析】

所求的最大正整数。

取的两个不互补的元子集，并令分别是的补集,从这四个集合中任取三个集合，由于总存在两个集合互补，因此，这三个集合的交集为空集,

假设集族中包含的5个子集,5个子集中共有个元素,

1.若有1个元素出现5次，则其他元素至多出现2次，知5个子集中至多有

个元素，矛盾,

2.若有2个元素各出现4次，则此2个元素至少在3个子集中同时出现，矛盾,

3.若恰有1个元素出现4次，设出现3次的元素有个，则

,

ⅰ.当时，至少有个元素各至少出现3次；

ⅱ.当时，有1个元素出现4次，个元素出现3次,

4.若没有元素出现4次，设出现3次的元素有个,则

,

综上，只有两种情况：

①至少有个元素各至少出现3次；

②有一个元素出现4次，个元素各出现3次,

对于①，因5个子集中任3个子集的交集的元素个数不超过1，故至少出现3次的元素个数，矛盾,

对于②，同理，由至少出现3次的元素个数，知且5个子集中任3个子集的交集恰为单元集，此10个单元集互不相同，但对出现4次的元素，其在4个单元集中都出现，矛盾,

故不存在包含5个集合的合适的集族,

综上所述，所求的最大正整数.