Question

【题目】已知函数（）.

（1）若，求函数的极值.

（2）若在有唯一的零点，求的取值范围.

（3）若，设，求证： 在内有唯一的零点，且对（2）中的，满足.

Answer 1

【答案】（1）有极小值，无极大值 （2） （3）证明见解析

【解析】试题分析：

(1)首先求得导函数，然后利用导函数的符号确定原函数的单调性可得有极小值，无极大值.

(2)对函数求导后令设．结合二次函数的性质分类讨论可得的取值范围是

(3) 设，则，换元可得，利用导函数研究函数零点所在的区间即可证得题中的结论.

试题解析：

（1）当时， ， ，

．

由，令，得．

当变化时， ， 的变化如下表：

		0
		极小值

故函数在单调递减，在单调递增，

有极小值，无极大值．

（2）解法一： ，

令，得，设．

则在有唯一的零点等价于在有唯一的零点

当时，方程的解为，满足题意；

当时，由函数图象的对称轴，函数在上单调递增，

且， ，所以满足题意；

当， 时， ，此时方程的解为，不符合题意；

当， 时，由，

只需，得．

综上， ．

（说明： 未讨论扣1分）

解法二： ，

令，由，得．

设，则， ，

问题转化为直线与函数的图象在恰有一个交点问题．

又当时， 单调递增，

故直线与函数的图象恰有一个交点，当且仅当．

（3）设，则，

，

，

由，故由（2）可知，

方程在内有唯一的解，

且当时， ， 单调递减；

时， ， 单调递增．

又，所以．

取，

则

，

从而当时， 必存在唯一的零点，且，

即，得，且，

从而函数在内有唯一的零点，满足．