Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点、以轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，若直线与曲线交于、两点.

（1）求线段的中点的直角坐标；

（2）设点是曲线上任意一点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，设、的参数分别为、，利用韦达定理求出线段中点对应的参数，代入直线的参数方程可求得点的直角坐标；

（2）利用弦长公式求得，求出圆心到直线的距离，由此可求得圆上的点到直线距离的最大值，利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.

（1）将曲线的极坐标方程可化为，化为直角坐标方程得，

将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得：，化简得，

设、的参数分别为、，由韦达定理得：，于是.

设，则，

故点的直角坐标为；

（2）由（1）知：，，

所以，，

又直线的普通方程为，圆心到直线的距离为，圆的半径.

所以，点到直线的距离的最大值为.

因此，面积的最大值为：.