Question

【题目】已知函数的定义域为，对任意实数，都有.

（1）若， ，且，求， 的值；

（2）若为常数，函数是奇函数，

①验证函数满足题中的条件；

②若函数求函数的零点个数.

Answer 1

【答案】(1) 解得， ;(2) ①见解析；② 当时，函数只有1零点；

当或时，函数有3零点；当是，函数有5零点.

【解析】试题分析：（1）由题意，取，得，再取，得，

即函数在内为奇函数，代入化简即可求解的值.

（2）由函数是奇函数，得，得出的解析式，进而求解.

再由，得，令，则，作出图象，进而分类讨论，求得函数零点的个数.

试题解析：

（1）对题中条件取，得.

再取，得，则，

即函数在内为奇函数.

所以，

又.

解得， .

（2）由函数是奇函数，得，则.

此时，满足函数是奇函数，且有意义.

①由，得，则对任意实数，

有 ，

，

所以.

②由，得，令，则.

作出图象

由图可知，当时，只有一个，对应有3个零点；

当时，只有一个，对应只有一个零点；

当时， ，此时， ， .

由

得在时， ，三个分别对应一个零点，共3个.

在时， ，三个分别对应1个，1个，3个零点，共5个.

综上所述，当时，函数只有1零点；

当或时，函数有3零点；

当是，函数有5零点.