Question

【题目】如图，已知椭圆： 的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆： ，设圆与椭圆交于点与点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求的最小值，并求此时圆的方程；

（3）设点是椭圆上异于, 的任意一点，且直线分别与轴交于点， 为坐标原点，求证： 为定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）， ；（3），证明见解析．

【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率以及圆的方程，求出的值，进而可得到椭圆的方程；（2）先设出点的坐标，并表示出，再根据, 在椭圆上，即可求出的最小值，进而可求出此时圆的方程；（3）先设出点的坐标，并写出直线的方程，进而得到的表达式，再根据点 在椭圆上，即可证得为定值．

试题解析：（1）依题意，得， ，；

故椭圆的方程为

（2）方法一：点与点关于轴对称，设，， 不妨设．

由于点在椭圆上，所以． （*）

由已知，则，，

由于，故当时， 取得最小值为．

由（*）式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到

故圆的方程为： ．

方法二：点与点关于轴对称，故设，

不妨设，由已知，则

故当时， 取得最小值为，此时，

又点在圆上，代入圆的方程得到．

故圆的方程为： ．

(3) 方法一：设，则直线的方程为：，

令，得， 同理：，

故（**）

又点与点在椭圆上，故，，

代入（**）式，得：．

所以为定值．

方法二：设，不妨设，，其中．则直线的方程为：，

令，得，

同理：，

故．

所以为定值