Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．
（1）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；
（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1 ， x2 ， 求证：x1x2＞e2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为点P（1，﹣1）在曲线y=f（x）上，

所以﹣m=﹣1，解得m=1．

因为f′（x）= ﹣1=0，

所以切线的斜率为0，

所以切线方程为y=﹣1

（2）解：因为f′（x）= ﹣m= ．

①当m≤0时，x∈（1，e），f′（x）＞0，

所以函数f （x）在（1，e）上单调递增，

则f （x）max=f （e）=1﹣me．

②当 ≥e，即0＜m≤ 时，x∈（1，e），f′（x）＞0，

所以函数f （x）在（1，e）上单调递增，

则f （x）max=f （e）=1﹣me．

③当1＜ ＜e，即 ＜m＜1时，

函数f （x）在 （1， ）上单调递增，在（ ，e）上单调递减，

则f （x）max=f （ ）=﹣lnm﹣1．

④当 ≤1，即m≥1时，x∈（1，e），f′（x）＜0，

函数f （x）在（1，e）上单调递减，

则f （x）max=f （1）=﹣m．

综上，①当m≤ 时，f （x）max=1﹣me；

②当 ＜m＜1时，f （x）max=﹣lnm﹣1；

③当m≥1时，f （x）max=﹣m

（3）解：不妨设x1＞x2＞0．

因为f （x1）=f （x2）=0，

所以lnx1﹣mx1=0，lnx2﹣mx2=0，

可得lnx1+lnx2=m（x1+x2），lnx1﹣lnx2=m（x1﹣x2）．

要证明x1x2＞e2，

即证明lnx1+lnx2＞2，也就是m（x1+x2）＞2．

因为m= ，

所以即证明 ＞ ，

即ln ＞ ．

令 =t，则t＞1，于是lnt＞ ．

令（t）=lnt﹣ （t＞1），

则′（t）= ﹣ = ＞0．

故函数（t）在（1，+∞）上是增函数，

所以（t）＞（1）=0，即lnt＞ 成立．

所以原不等式成立

【解析】（1）中求出斜率，代入切线方程即可；（2）中需要讨论m的范围，m的取值范围不一样，求出的最值不同；（3）中将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．