Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，(其中)是上的一点，且.

(1)求抛物线的方程；

(2)已知为抛物线上除顶点之外的任意一点，在点处的切线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，设，，的斜率分别为，，，求证：，，成等比数列.

Answer 1

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】

(1)根据抛物线的定义可得，由在抛物线列出方程，联立解方程组即可求出；

(2) 设点，利用导数的几何意义求出点处切线的斜率，再由点斜式可求出切线的方程，令，可得，从而可设直线的方程为，与联立方程组消去可得，设，利用根与系数关系可得，再将用，表示并化简可得，而，从而可证出，，成等比数列.

(1)由题意，得，解得，或，

又，所以，所以抛物线的方程为.

(2)由题意，得直线的斜率存在，且不为0.

由，得，则，设点，则切线的斜率为，

于是切线的方程为，即，所以.

设直线的方程为，代入，

消去并整理，得，

由直线交抛物线于两点，得.

设，所以，

又,，所以，，

所以，又，

所以，故成等比数列.