Question

【题目】如图①，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，，为中点现将四边形沿折起,使平面平面，得到如图②所示的多面体在图②中，

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值。

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）由已知可得EF⊥AB，EF⊥CD，折叠后，EF⊥DF，EF⊥CF，利用线面垂直的判定得EF⊥平面DCF，从而得到EF⊥MC；（2）由平面平面，得平面，得，进一步得，，两两垂直.以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，求解即可

（1）由题意，可知在等腰梯形中，，

∵，分别为，的中点，∴，.

∴折叠后，，.

∵，∴平面.

又平面，∴.

（2）∵平面平面，平面平面，且，

∴平面，∴，∴，，两两垂直.

以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.

∵，∴.

∴，，，.

∴，，.

设平面，平面的法向量分别为

，.

由，得.

取，则.

由，得.

取，则.

∵，

∴二面角的余弦值为.