Question

【题目】已知函数，曲线在原点处的切线斜率为-2.

（Ⅰ）求实数，的值；

（Ⅱ）若，求证：当时，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）详见解析

【解析】

解法一：（1）计算导数，结合原点坐标，建立方程，即可。（2）构造函数，针对a取不同范围，进行讨论，判定与0的关系，即可。解法二：（1）解法一相同（2）构造函数，结合该函数导数，判断单调性，计算范围，即可。

解法一：

（Ⅰ）依题意得，

又的图象在原点处的切线斜率为-2，

∴，

，

即，.

（Ⅱ）当时，设，

且.

①当时，，，

∴在定义域上单调递减，

∴当时，，

∴恒成立，即.

②当，时，

，

∵，

∴.

又∵，

∴恒成立，即.

∴，时，.

综上所述，若，当时，.

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）令

当时，.

∴.

∴.

令，

，

∴在单调递减.

.

得，

∴当时，.