Question

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x且f（0）=1，f（1）=0．
（I）若f（x）在区间[0，1]上单调递减，求实数a的取值范围；
（II）当a=0时，是否存在实数m使不等式2f（x）+4xe^x≥mx+1≥-x²+4x+1对任意x∈R恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由f（0）=1，f（1）=0得c=1，a+b=-1，则f（x）=[ax²-（a+1）x+1]e^x，
∴f′（x）=[ax²+（a-1）x-a]e^x，
由题意函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在[0，1]上单调递减可得对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）＜0
当a＞0时，因为二次函数y=ax²+（a-1）x-a图象开口向上，而f′（0）=-a＜0，所以只需要f′（1）=（a-1）e＜0，即a＜1，故有0＜a＜1；
当a=1时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=（x²-1）e^x＜0，函数符合条件；
当a=0时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=-xe^x＜0，函数符合条件；
当a＜0时，因f′（0）=-a＞0函数不符合条件；
综上知，a的取值范围是0≤a≤1

（II）当a=0时，f（x）=（1-x）e^x，假设存在实数m使不等式2f（x）+4xe^x≥mx+1≥-x²+4x+1对任意x∈R恒成立，

由mx+1≥-x²+4x+1得，x²+（m-4）x≥0恒成立，∴△=（m-4）²≤0，∴m=4．
下面证明：当m=4时，2f（x）+4xe^x≥mx+1对任意x∈R恒成立，即（2x+2）e^x≥4x+1对任意x∈R恒成立，
令g（x）=（2x+2）e^x-4x-1，g′（x）=（2x+4）e^x-4，∵g′（0）=0，
当x＞0时，2x+4＞4，e^x＞1，∴（2x+4）e^x＞4，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，

当x＜0时，2x+4＜4，0＜e^x＜1，∴（2x+4）e^x＜4，g′（x）＜0，g（x）在（-∞0，）上单调递减，

∴g（x）min=g（0）=1＞0，∴g（x）＞0，即（2x+2）e^x≥4x+1对任意x∈R恒成立．

综上所述，实数m=4使不等式2f（x）+4xe^x≥mx+1≥-x²+4x+1对任意x∈R恒成立．