Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）证明：函数在区间上存在唯一的极大值点；

（Ⅲ）证明：函数有且仅有一个零点.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ）证明见解析

【解析】

（Ⅰ）求导，从而解得切线的切率，根据点斜式即可求得结果；

（Ⅱ）根据的单调性，即可容易求证；

（Ⅲ）根据的正负，判断函数的单调性，即可容易证明.

（Ⅰ）因为，

所以，

，

又因为，

所以切线方程为，

即：.

（Ⅱ）证明：因为和在上单调递减，

所以在上单调递减，

且．

又，

所以在内有且仅有一个实数，使得=0，

并且当时，，

当时，，

所以在区间上有唯一的极大值点.

（Ⅲ）证明：当时，

，，

此时.

当时，

，，

此时.

当时，

因为，所以在内单调递增.

因为，，

所以在上有且仅有一个零点.

综上所述，函数有且仅有一个零点.