Question

【题目】斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.

（1）设点在第一象限，过作抛物线的准线的垂线，为垂足，且，直线与直线关于直线对称，求直线的方程；

（2）过且与垂直的直线与圆交于、两点，若与面积之和为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设抛物线的准线与轴的交点为，利用抛物线的定义得出，求出点的坐标与直线的斜率，即可得出直线与直线的斜率互为相反数，进而可求得直线的方程；

（2）将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出，求得直线的方程，计算出圆心到直线的距离，进而计算出，利用三角形的面积公式结合题中条件可求得的值.

（1）设抛物线的准线与轴的交点为，根据抛物线的定义得，则.

，，，

，，

点的坐标为，直线的斜率为.

直线与直线关于直线对称，直线的方程为，即；

（2）设直线的方程为，与联立得，

令，，则，，

.

，直线的方程为，即，

圆心到直线的距离为，

圆的半径为，，

与面积之和为，

直线与圆有两个交点，且，

令，则，由，解得或（舍去），，得.