Question

【题目】已知分别为椭圆的上、下焦点，是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）与圆相切的直线交椭圆于，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）且，且.

【解析】

试题分析：（1）利用抛物线的方程和定义，即可求出点的坐标，再利用椭圆的定义即可求出椭圆的方程；（2）根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离定于半径，可得，联立直线与椭圆方程，结合椭圆上一点满足，可得的表达式，进而求出实数的取值范围.

试题解析：（1）由题知，所以，

又由抛物线定义可知，得，

于是易知，从而，

由椭圆定义知，得，故，

从而椭圆的方程为.

（2）设，，，则由知，

，，且，………………①

又直线与圆相切，所以有，

由，可得，………………②

又联立，消去得.

且恒成立，且，，

所以，所以得

代入①式得，所以，

又将②式代入得，，，，

易知，且，所以.

所以的取值范围为且，且