Question

【题目】已知直线与抛物线交于两点，且线段恰好被点平分．

（1）求直线的方程；

（2）抛物线上是否存在点和，使得关于直线对称?若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析．

【解析】

试题分析：（1）由题意可设直线：

和由直线的方程为；（2）假设存在这样的直线设

和的中点为，代入直线的方程不满足式不存在这样的直线满足条件．

试题解析：（1）由题意可得直线的斜率存在，且不为．

设直线：，

代入抛物线方程可得：．

判别式．

设，，

即有，

由，∴．

代入判别式大于成立．

∴所求直线的方程为．

（2）假设存在这样的直线，则可设与抛物线联立．

则，其中，则．

又，所以的中点为，代入直线的方程，

则不满足式．所以不存在这样的直线满足条件．