Question

【题目】已知函数 ．
（Ⅰ）若 为 的极值点，求 的值；
（Ⅱ）若 在 单调递增，求 的取值范围．
（Ⅲ）当 时，方程 有实数根，求 的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，求导， ，
由 为 的极值点，则 ，即 ，解得： ，
当 时， ，
从而 为函数的极值点，成立，
∴ 的值为0；
（Ⅱ） 在 单调递增，则 ，
则 在区间 上恒成立，
①当 时， 在区间 上恒成立，
∴ 在区间 上单调递增，故 符合题意；
②当 时，由 的定义域可知： ，
若 ，则不满足条件 在区间 上恒成立，
则 ，
则 ，对区间 上恒成立，
令 ，其对称轴为 ，
由 ，则 ，
从而 在区间 上恒成立，
只需要 即可，
由 ，解得： ，
由 ，则 ，
综上所述， 的取值范围为 ；
（Ⅲ）当 时，方程 ，转化成 ，
即 ，令 ，则 在 上有解，
令 ， ，求导 ，
当 时， ，故 在 上单调递增；当 时， ，故 在 上单调递减；
在 上的最大值为 ，此时 ， ，
当 时，方程 有实数根，则 的最大值为0．
【解析】(1)根据题意首先求导代入数值求出 f ′ ( 2 ) = 0进而求出a的值。(2)对原函数求导令其大于等于零恒成立，分类讨论当 a = 0 时恒成立，当 a ≠ 0 时由函数的定义域可知a>0,根据二次函数的单调性可知g ( 3 ) ≥ 0 恒成立即可求得a的取值范围。(3)根据题意由整体思想转化原有的代数式并对其求导，对t分情况讨论，利用导函数的性质研究原函数的单调性以及最大值的关系即可求出b的最大值。