Question

【题目】如图，几何体中，四边形为菱形，，，面∥面，、、都垂直于面，且，为的中点，为的中点．

（1）求证：为等腰直角三角形；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2) .

【解析】

试题分析：（1）由已知条件，在直角三角形，DCE中分别求出，DE的长度，由边的关系能够证出△DB1E为等腰直角三角形；（2）取的中点H，因为O，H分别为DB，的中点，所以OH∥BB1，以OA，OB，OH分别为x，y，z轴建立坐标系，求出两个平面和DFE的法向量，根据二面角与其法向量所成角的关系求二面角的余弦值．

试题解析：解：（1）连接，交于，因为四边形为菱形，，所以

因为、都垂直于面,，又面∥面,

所以四边形为平行四边形 ,则 2分

因为、、都垂直于面,则

4分

所以

所以为等腰直角三角形 5分

（2）取的中点，因为分别为的中点，所以∥

以分别为轴建立坐标系，

则

所以 7分

设面的法向量为，

则，即且

令，则 9分

设面的法向量为，

则即且

令，则 11分

则,则二面角的余弦值为 12分