Question

【题目】已知函数，其中.

（1）若函数仅在处取得极值，求实数的取值范围；

（2）若函数有三个极值点，，，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

(1)，因为仅在处取得极值，则.再对a 分类讨论，利用数形结合分析得到a的取值范围；(2)由题得，由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，再利用分析法证明.

解：（1）由，得，

由仅在处取得极值，则，即.

令，则，当单调递减，单调递增，

则，

∴当时，，此时仅一个零点，

则仅一个为极值点，

当时，与在同一处取得零点，此时，，

，，

∴仅一个零点，则仅一个为极值点，所以a=e.

当a＞e时，显然与已知不相符合.

∴.

（2）由，则.

由题意则有三个根，则有两个零点，

有一个零点，，

令，则，

∴当时取极值，时单调递增，

∴，则时有两零点，，且，

若证：，即证：，

由，，则，

即证： ，

由在上单调递增，即证：，

又，则证，

令，，

∴ .

∴恒成立，则为增函数，

∴当时，，

∴得证.