Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为线段的中点，为线段上的一点.

（1）证明：平面平面.

（2）若，二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由得平面PAE，进而可得证；

（2）先证得平面，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面的法向量为和，设与平面所成角为，则，代入计算即可得解.

（1）证明：连接，因为，为线段的中点，

所以.

又，，所以为等边三角形，.

因为，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）解：设，则，因为，所以，

同理可证，所以平面.

如图，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.

易知为二面角的平面角，所以，从而.

由，得.

又由，，知，.

设平面的法向量为，

由，，得，不妨设，得.

又，，所以.

设与平面所成角为，则.

所以与平面所成角的正弦值为.