Question

【题目】设函数，其中．

（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；

（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）极小值，极大值；（Ⅱ）或

【解析】

（Ⅰ）根据偶函数定义列方程，解得.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律，即得极值，（Ⅱ）先分离变量，转化研究函数，，利用导数研究单调性与图象，最后根据图象确定满足条件的的取值范围．

（Ⅰ）由函数是偶函数，得，

即对于任意实数都成立，

所以.

此时，则.

由，解得.

当x变化时，与的变化情况如下表所示：

		0		0
	↘	极小值	↗	极大值	↘

所以在，上单调递减，在上单调递增.

所以有极小值，有极大值.

（Ⅱ）由，得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”.

对函数求导，得.

由，解得，.

当x变化时，与的变化情况如下表所示：

		0		0
	↘	极小值	↗	极大值	↘

所以在，上单调递减，在上单调递增.

又因为，，，，

所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.

即当或时，函数在区间上有两个零点.