Question

【题目】已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn ， 且S2=6，S4=30，n∈N* ， 数列{bn}满足bnbn+1=an ， b1=1
（1）求an ， bn；
（2）求数列{bn}的前n项和为Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），

由题意可得a1+a1q=6，a1+a1q+a1q2+a1q3=30，

解得a1=q=2（负的舍去），

可得an=a1qn﹣1=2n；

由bnbn+1=an=2n，b1=1，

可得b2=2，

即有bn+1bn+2=an=2n+1，

可得 =2，

可得数列{bn}中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，

即有bn= ；

（2）解：当n为偶数时，前n项和为Tn=（1+2+..+ ）+（2+4+..+ ）

= + =3（ ）n﹣3；

当n为奇数时，前n项和为Tn=Tn﹣1+

=3（ ）n﹣1﹣3+ =（ ）n+3﹣3．

综上可得，Tn=

【解析】（1）设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比均为2，可得an=a1qn﹣1=2n；再由n换为n+1，可得数列{bn}中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，运用等比数列的通项公式，即可得到所求bn；（2）讨论n为奇数和偶数，运用分组求和和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．