Question

【题目】已知椭圆： 的左右焦点分别为， ，左顶点为，上顶点为， 的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线： 与椭圆相交于不同的两点， ， 是线段的中点.若经过点的直线与直线垂直于点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）由题意可知.，由，可求得椭圆方程。（2）分和讨论，当时，因为两直线互相垂直，所以直线的方程为， 即点到直线的距离， 即点到直线的距离，用点到直线的距离公式计算，结合韦达定理，把长度表示为k的形式，所以表示为k的函数，即可求范围。

试题解析：（1）由已知，有.

又，∴.

∵，∴.

∴椭圆的方程为.

（2）①当时，点即为坐标原点，点即为点，则， .

∴.

②当时，直线的方程为.

则直线的方程为，即.

设， .

联立方程，消去，得 .

此时.

∴， .∴.

∵即点到直线的距离，

∴ .

又即点到直线的距离，∴.

∴.

令，则.

∴ .

即时，有.

综上，可知的取值范围为.