Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求的极值；

（2）当时，，求整数的最大值．

Answer 1

【答案】（1）当时，无极值；当时，有极小值，无极大值．（2）1

【解析】

（1）对函数求导得，再对分两种情况讨论，即和，即可得答案；

（2）当时，，即， 因为，所以只需，令， 利用导数求出的最小值，可得，再利用导数研究的最小值，即可得答案；

（1）当时，，所以，

①当时，，在为增函数，无极值；

②当时，由得，由得；

所以在为减函数，在为增函数．

当时，取极小值，

综上，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值．

（2）当时，，将函数看成以为主元的一次函数，

则只需证即可，

因为，所以只需，令，

，所以．

，令，

，所以在递增

，

根据零点存在性定理，，使得，即．

当时，，即，为减函数，

当时，，即，为增函数，

所以，

故；

在递增，，所以，又

所以整数的最大值是1．