Question

【题目】设函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）己知函数有两个极值点

①比较与的大小；

②若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）①；②

【解析】

（1），分，两种情况讨论即可；

（2）①通过因式分解可得的表达式，再利用是函数有两个极值点得到，，代入计算即可得到与的大小；②由题意可将问题转化为在区间上有唯一的最大值，进一步可得到或，结合，分别解不等式组即可.

（1）.

当时，，

所以的单调增区间为，无减区间；

当时，令，得或，

令，得，

所以的单调增区间为和，

减区间为.

综上：当时，的单调增区间为无减区间

当时，的单调增区间为和，

减区间为.

（2）因为的两个极值点，，

由（1）知，当时，

，，

且，，

则，，

因此，

所以.

①因为在，上单调递增，在上递减，

所以，.

由

即.

②因为函数在区间上有且只有一个零点，

所以在区间上只有唯一的最大值.

故由（由①知不成立，故舍去）

或（即）

由，

解得，代入，得，

由，得，所以.