Question

【题目】已知集合，其中，．如果集合满足：对于任意的，都有，那么称集合具有性质．

（Ⅰ）写出一个具有性质的集合；

（Ⅱ）证明：对任意具有性质的集合，；

（Ⅲ）求具有性质的集合的个数．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）;（Ⅱ）利用反证法证明不存在，使得；（Ⅲ）设为使得的最大正整数，则．再证明，集合中大于2000的元素至多有19个，所以．再证明不可能成立．即成立．再推理得到可能取的值为981，982，…，1000，故符合条件的集合个数为．因此，满足条件的集合的个数为．

解：（Ⅰ）

（Ⅱ）证明：假设存在，使得，显然，取，则

，由题意，而为集合中元素的最大值，所以，，矛盾，假设不成立，

所以，不存在，使得．

（Ⅲ）设为使得的最大正整数，则．

若，则存在正整数，使得，所以．

同（Ⅱ）不可能属于集合．

于是，由题意知，

所以，，集合中大于2000的元素至多有19个，所以．

下面证明不可能成立．

假设，则存在正整数，使得，显然，

所以存在正整数使得．

而与为使得的最大正整数矛盾，所以不可能成立．即成立．

当时，对于任意的满足显然有成立．

若，则，即，

所以，，其中均为符合题意的集合．

而可能取的值为981，982，…，1000，故符合条件的集合个数为

．

因此，满足条件的集合的个数为．