Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）当时，求的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）设函数，讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据导数的几何意义求出斜线的斜率，然后根据点斜式方程可得结果．（Ⅱ）根据函数的单调性和极值、最值得到函数图象的大体形状，在此基础上判断出零点的个数．

（Ⅰ）当时，，

所以，

所以．

又．

所以函数的图象在点处的切线方程为，

即．

（Ⅱ）由题意得，定义域为，

则．

（i）当时，对于任意的恒成立，故在上单调递减，

令，则，.

又，

所以在上有唯一零点．

（ii）当时，令，得.

所以在上单调递减，在上单调递增，

故.

①若，，函数无零点；

②若，，函数有唯一零点；

③若，，

令，

则.

令，

则

.

所以函数在，上各有一零点，从而函数有两个零点．

综上可得：当时，函数没有零点；当或时，函数有唯一零点；当时，函数有两个零点．