Question

【题目】已知 ，直线 的斜率之积为 .
（Ⅰ）求顶点 的轨迹方程 ；
（Ⅱ）设动直线 ，点 关于直线 的对称点为 ，且 点在曲线 上，求 的取值范围.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设动点M（x，y），则M（x，y）满足：
C： ，
又 ，所以 ，
故答案为：M点的轨迹方程C是： ．
（Ⅱ）由题意，设点 ，由点 关于直线 的对称点为 ，
则线段 的中点 的坐标为 且 ．
又直线 的斜率 ，故直线 的斜率 ，
且过点 ，所以直线 的方程为： ．
令 ，得 ，
由 ，得 ，
则 ， ，
又 ，当且仅当 时等号成立，
故答案为：m的取值范围为 或
【解析】（1）设动点M的坐标为（x,y），利用斜率之积已知，结合斜率公式得到关于点M的坐标的方程即为所求.
（2）由于点PQ关于直线l对称，可将PQ中点D的坐标用点P的坐标表示出来，同时将直线l的斜率也表示出来，即将直线l的方程用点P的坐标不表示，令x=0，将m表示为点P的坐标的函数式，用均值不等式求最值.