Question

12．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：
（1）有女生但人数必须少于男生；
（2）男生甲必须包括在内，但不担任数学课代表；
（3）女生乙一定要担任语文课代表，男生丙只想担任数学课代表或物理课代表．

Answer 1

分析 （1）分2步进行分析：①、在8个人中选出5人，有3男2女和4男1女2种情况，②、将取出的5人全排列，有A₅⁵种情况，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；
（2）分2步进行分析：①、在除数学课代表之外的4门不同学科的课代表选出1门，由甲担任，②、在除男生甲之外的7人中任选4人，将4人全排列，对应其他4门不同学科的课代表，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，对于男生丙分2种情况讨论：①、男生丙也在选出的5人中，②、男生丙不在选出的5人中，分别求出每一种情况的选法数目，由分类计数原理计算可得答案；

解答 解：（1）根据题意，分2步进行分析：
①、在8个人中选出5人，有3男2女和4男1女2种情况，
则有（C₅³C₃²+C₅⁴C₃¹）种取法，
②、将取出的5人全排列，有A₅⁵种情况，
则共有（C₅³C₃²+C₅⁴C₃¹）A₅⁵=5400种选法；
（2）分2步进行分析：
①、由于男生甲不担任数学课代表，在除数学课代表之外的4门不同学科的课代表选出1门，由甲担任，则男生甲有C₄¹种选择情况，
②、在除男生甲之外的7人中任选4人，有C₇⁴种情况，将4人全排列，对应其他4门不同学科的课代表，有C₇⁴•A₄⁴种情况，
则C₇⁴C₄¹A₄⁴=3360种符合条件的选法；
（3）根据题意，女生乙一定在选出的5人中，对于男生丙分2种情况讨论：
①、男生丙也在选出的5人中，则男生丙担任数学课代表或物理课代表，男生丙有C₂¹种情况，
在其余6人中任选3人，担任剩下3门不同学科的课代表，有A₆³种情况，
此时有C₂¹•A₆³种选法，
②、男生丙不在选出的5人中，
则在其余6人中任选4人，担任剩下4门不同学科的课代表，有A₆⁴种情况，
此时有A₄⁴种选法，
则一共有$C_2^1A_6^3+A_6^4=600$种符合条件的选法．

点评 本题考查排列组合问题在实际问题中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的条件，先排约束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件．