Question

(本小题满分14分)

设椭圆（）的两个焦点是和（），且椭圆与圆有公共点．

（1）求的取值范围；

（2）若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程；

（3）对（2）中的椭圆，直线（）与交于不同的两点、，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：解：（1）由已知，，

∴方程组有实数解，从而，故 …2分

所以，即的取值范围是．                   ……………4分

（2）设椭圆上的点到一个焦点的距离为，

则

（）．                           ……………6分

∵，∴当时，，

于是，，解得 ．

∴所求椭圆方程为．                       ……………8分

（3）由得 （*）

∵直线与椭圆交于不同两点，　∴△，即．①  ………10分

设、，则、是方程（*）的两个实数解，

∴，∴线段的中点为，

又∵线段的垂直平分线恒过点，∴，

即，即（k）②          ……………12分

由①，②得，，又由②得，

∴实数的取值范围是．                            ……………14分

考点：椭圆的方程和性质；直线的方程；两直线垂直的判定定理。

点评：本题第一小题也可这样来求解，椭圆跟y轴正半轴的交点为，若椭圆要与圆相交，则；第二小题可以结合椭圆的特点来求，当椭圆上的点是时，它到附近的焦点的距离就是最短距离；第三小题需要注意直线与椭圆相交时应满足的条件。