Question

【题目】已知函数 ,其中 (为自然对数的底数).

（Ⅰ）讨论函数的单调性,并写出相应的单调区间；

（Ⅱ）设,若函数对任意都成立,求的最大值.

Answer 1

【答案】(I)见解析 (II) .

【解析】试题分析: (I)求出,对和分别讨论单调性,求出单调区间; (II)先对参数和时分别讨论,利用特殊值检验不能恒成立,在时，由函数 对任意 都成立，得,即, ,构造关于a的新函数,求导判断单调性求出最大值,即的最大值.

试题解析:(I)因为 ，

①当 时， 在恒成立，函数 在上单调递增；

②当 时，由得 ，

所以当 时 ，此时 单调递减；

当 时，此时单调递增.

综上，当时，函数的单调递增区间为 ；

当时，函数的单调递增区间为 ；

单调递减区间为 .

(II) 由(I)知，当 时，函数在R上单调递增且 时， .

所以 不可能恒成立；

当 时， ；

当时，由函数 对任意 都成立，得 .

因为 ，

所以 .

所以 ，

设

所以，

由于 ，令 ，得.

当时， ， 单调递增；

当)时， ， 单调递减.

所以，即， 时， 的最大值为.