Question

【题目】若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足： 和，则称直线为和的“隔离直线”．已知， 为自然对数的底数)．

（1）求的极值；

（2）函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）当时， 取极小值，其极小值为（2）函数和存在唯一的隔离直线

【解析】试题分析：（1）由已知中函数f（x）和φ（x）的解析式，求出函数F（x）的解析式，根据求导公式，求出函数的导数，根据导数判断函数的单调性并求极值；（2）由（1）可知，函数f（x）和φ（x）的图象在（，e）处相交，即f（x）和φ（x）若存在隔离直线，那么该直线必过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y-e=k（x-），即y=kx-k+e，根据隔离直线的定义，构造方程，可求出k值，进而得到隔离直线方程

试题解析：（1） ，

．

当时， ．当时， ，此时函数递减；

当时， ，此时函数递增；

∴当时， 取极小值，其极小值为．

（2）解法一：由（1）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．

设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即．

由，可得当时恒成立．

，

由，得．

下面证明当时恒成立．

令，则，

当时， ．

当时， ，此时函数递增；

当时， ，此时函数递减；

∴当时， 取极大值，其极大值为．

从而，即恒成立.

∴函数和存在唯一的隔离直线．

解法二：由（Ⅰ）可知当时， （当且当时取等号）．

若存在和的隔离直线，则存在实常数和，使得和恒成立，令，则且

，即．后面解题步骤同解法一．