Question

【题目】已知、是双曲线的两个顶点，点是双曲线上异于、的一点，为坐标原点，射线交椭圆于点，设直线、、、的斜率分别为、、、.

（1）若双曲线的渐近线方程是，且过点，求的方程；

（2）在（1）的条件下，如果，求的面积；

（3）试问：是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面积为；（3）定值为.

【解析】

（1）设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，可求出双曲线的方程；

（2）设点的坐标为，设直线的方程为，则，由点在双曲线上得出，可得出，利用斜率公式以及条件可求出射线的方程，由此可得出点的纵坐标，由此计算出的面积；

（3）由题意得出，设点、，则，利用斜率公式得出，，由此可得出的值.

（1）由于双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为，

将点的坐标代入双曲线的方程得，

因此，双曲线的方程为；

（2）设射线所在直线的方程为，设点，则，

因为点在双曲线上，所以，可得.

，.

所以，射线所在直线的方程为.

联立直线的方程与椭圆的方程，解得，

所以，点的纵坐标为，因此，的面积为；

（3）设点、，

由于点在双曲线上，则，得，

，，，

同理可得，因此，.