Question

【题目】对于任意的，若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质m”：；存在实数M，使得成立．

数列、中，、（），判断、是否具有“性质m”；

若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，，求证：数列具有“性质m”；

数列的通项公式对于任意，数列具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值，求整数t的值．

Answer 1

【答案】（1）数列不具有“m性质”； 数列具有“性质m”（2）证明见解析；（3）

【解析】

利用数列具有“性质m”的条件对、（）判断即可；数列是各项为正数的等比数列，利用已知求得q，从而可求得，及，分析验证即可；由于，可求得，，由可求得，可判断时，数列是单调递增数列，且，从而可求得，于是有，经检验不合题意，于是得到答案．

在数列中，取，则，不满足条件，

所以数列不具有“m性质”；

在数列中，，，，

，，

则，

，

，所以满足条件；

（）满足条件，所以数列具有“性质m”

因为数列是各项为正数的等比数列，则公比，

将代入得，，

解得或舍去

所以，，

对于任意的，，且

所以数列数列具有“m性质”

且

由于，则，，

由于任意且，数列具有“性质m”，所以

即，化简得，

即对于任意且恒成立，所以

由于及，所以

即时，数列是单调递增数列，且

只需，解得

由得，所以满足条件的整数t的值为2和3．

经检验不合题意，舍去，满足条件的整数只有