Question

已知函数其中a>0.

（I）求函数f(x)的单调区间；

（II）若函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；

（III）当a=1时，设函数f（x）在区间[t,t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3，-1]上的最小值。

【考点定位】本小题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、函数的零点，函数的最值等基础知识.考查函数思想、分类讨论思想.考查综合分析和解决问题的能力.

 

Answer 1

【答案】

（I）单调递增区间是，；单调递减区间是    （2）

（3）

【解析】（I）解：

由，得

当x变化时，，的变化情况如下表：

x		-1		a
	+	0	-	0	+
		极大值		极小值

故函数的单调递增区间是，；单调递减区间是.

（II）解：由（I）知在区间内单调递增，在内单调递减，从而函数在区间内恰有两个零点当且仅当，解得.

所以，a的取值范围是.

（III）解：a=1时，.由（I）知在区间内单调递增，在内单调递减，在上单调递增.

（1）当时，，，在上单调递增，在上单调递减.因此，在上的最大值，而最小值为与中的较小者.由知，当时，，故，所以.而在上单调递增，因此.所以在上的最小值为.

（2）当时，，且.

下面比较的大小由在，上单调递增，

有 

又由，，

从而，

所以   综上，函数在区间上的最小值为