Question

【题目】已知函数，为的导函数.证明：

（1）在区间存在唯一极小值点；

（2）有且仅有个零点.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）令，然后得到，得到的单调性和极值，从而证明在区间存在唯一极小值点；

（2）根据的正负，得到的单调性，结合，，的值，得到的图像，从而得到的单调性，结合和的值，从而判断出有且仅有个零点.

（1）令，

，

当时，恒成立，

当时，.

∴在递增，，.

故存在使得，时，时，.

综上，在区间存在唯一极小值点.

（2）由（1）可得

时，，单调递减，

时，，单调递增.

且， .

故的大致图象如下：

当时，，

∴此时，单调递增，而.

故存在，使得

故在上，的图象如下：

综上，时，，时，，时，.

∴在递增，在递减，在递增，

而，，

又当时，，恒成立.

故在上的图象如下：

∴有且仅有个零点.