Question

已知函数f（x）=-ax（a为常数，a>0）。
（1）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增函数；
（3）若对任意的a∈（1，2），总存在，使不等式f（x₀）>m（1-a²）成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

解：
（1）由已知，得且
∴a²-a-2=0
∵a>0
∴a=2。
（2）当0＜a≤2时，∵
∴
∴当时，
又
∴f′（x）≥0，
故 f（x）在上是增函数。
（3）a∈（1，2）时，由（2）知，f（x）在上的最大值为
于是问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式恒成立
记（1＜a＜2）
则
当m=0时，
∴g（a）在区间（1，2）上递减，
此时，g（a）＜g（1）=0，
∵a²-1>0，
∴m≤0时不可能使g（a）>0恒成立，故必有m>0
∴
若，可知g（a）在区间上递减，
在此区间上，有g（a）＜g（1）=0，与g（a）>0恒成立矛盾，
故，
这时，g′（a）>0，g（a）在（1，2）上递增，恒有g（a）>g（1）=0，满足题设要求，
∴，即，
所以，实数m的取值范围为。