Question

【题目】已知函数，函数，其中，是的一个极值点，且.

（1）讨论的单调性

（2）求实数和a的值

（3）证明

Answer 1

【答案】（1）在区间单调递增；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）求出，在定义域内，再次求导，可得在区间上恒成立，从而可得结论；（2）由，可得，由可得，联立解方程组可得结果；（3）由（1）知在区间单调递增，可证明，取，可得，而，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.

（1）由已知可得函数的定义域为，且，

令，则有，由，可得，

可知当x变化时，的变化情况如下表：

		1
	-	0	+
		极小值

，即，可得在区间单调递增；

（2）由已知可得函数的定义域为，且，

由已知得，即，①

由可得，，②

联立①②，消去a，可得，③

令，则，

由（1）知，，故，在区间单调递增，

注意到，所以方程③有唯一解，代入①，可得，

；

（3）证明：由（1）知在区间单调递增，

故当时，，，

可得在区间单调递增，

因此，当时，，即，亦即，

这时，故可得，取，

可得，而，

故

.