Question

已知2（1+sin²β）=3cos²α，3（cosα+sinα）²=1+2（sinβ+cosβ）²，则cos2（α+β）=

-

1

3

．

Answer 1

分析：利用二倍角公式由2（1+sin²β）=3cos²α得出3-2cos2β=3cos2α①，由3（cosα+sinα）²=1+2（sinβ+cosβ）²，得出3sin2α=2sin2β②．①²+②²，得（3-2cos2β）²+（2sin2β）²=（3cos2α）²+（3sin2α）²，整理得出cos2β=

1

3

，代入①得cos2α=

7

9

，所以cos2（α+β）=cos2αcos2β-sin2αsin2β=cos2αcos2β-

3

2

sin²2α，代入数据计算化简．

解答：解：由2（1+sin²β）=3cos²α
得2（1+

1-cos2β

2

）=3×

1+cos2α

2

整理得出3-2cos2β=3cos2α①
由3（cosα+sinα）²=1+2（sinβ+cosβ）²，
得出3（1+sin2α）=1+2（1+sin2β）
即3sin2α=2sin2β②
①²+②²，得（3-2cos2β）²+（2sin2β）²=（3cos2α）²+（3sin2α）²
整理得出cos2β=

1

3

，代入①得cos2α=

7

9

所以cos2（α+β）=cos2αcos2β-sin2αsin2β=cos2αcos2β-

3

2

sin²2α
=

1

3

×

7

9

-

3

2

[1-(

7

9

)2]=-

1

3

故答案为：-

1

3

点评：本题考查三角函数公式的灵活综合应用，难度较大．主要用到了二倍角公式的变形使用，同角三角函数关系式，和差角公式．