Question

函数f（x）=4x³+ax²+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=-12x，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，建立等式关系，再根据切点在函数图象建立等式关系，解方程组即可求出a和b，从而得到函数f（x）的解析式；
（2）由（Ⅰ）得f'（x），令f′（x）＞0和令f′（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间．

解答：解：（1）f′（x）=12x²+2ax+b，f′（1）=12+2a+b=-12．①
又x=1，y=-12在f（x）的图象上，
∴4+a+b+5=-12．②
由①②得a=-3，b=-18，
∴f（x）=4x³-3x²-18x+5．
（2）f′（x）=12x²-6x-18=令f'（x）＜0，得：12x²-6x-18＜0，
可得-1＜x＜

3

2

，
∴函数f（x）的单调减区间为(-1，

3

2

)．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及导函数的正负与原函数的单调性之间的关系等基础题知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．