Question

【题目】已知函数.

（1）函数在区间（）上有零点，求k的值；

（2）若不等式对任意正实数x恒成立，求正整数m的取值集合.

Answer 1

【答案】（1）0或3；（2）.

【解析】

（1）求导，可得时，函数单调递减，时，函数单调递增，然后利用零点存在定理，根据验证求解.

（2）根据（1）分三种情况讨论，当时，不等式为.显然恒成立； 当时，转化为，令，求其最大值，当时，转化为，令，求其最小值即可.

（1）令，得，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以的极小值为，又，

所以在区间上存在一个零点，此时；

因为，，

所以在区间上存在一个零点，此时.

综上，k的值为0或3；

（2）当时，不等式为.显然恒成立，此时；

当时，不等式，可化为，

令，则，

由（1）可知，函数在上单调递减，且存在一个零点，

此时，即，

当时，，即，函数单调递增；

当时，，即，函数单调递减.

∴有极大值，即最大值为，

于是.

当时，不等式，可化为，

由（1）可知，函数在上单调递增，且存在一个零点，同理可得.

综上可知.

又，，∴正整数m的取值集合为.