Question

【题目】已知函数.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增（2）当时，无零点；当时，只有一个零点；当时，有两个零点

【解析】

（1）当时，，令，，则可得到函数的单调性，进一步得到函数，则可得函数的单调区间.
（2）由题意有，当时，显然无零点，当时，即的根的个数，即即，设，求出的导数，分析出的单调性，从而得出函数的零点的情况.

解：（1）函数的定义域为，

当时，

设，，则

令，则，令，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以，即.

令，则，令，则，

因此在上单调递减，在上单调递增.

（2）函数的零点个数，即的根的个数.

当时，在上恒有成立，所以无零点.

当时， ，即

即，设

设，

由，可得，，可得

所以在上单调递减，在上单调递增，所以

所以当时，，当时，

在上单调递减，在上单调递增.

又当时，，所以，，则

即当时，.

又设，则.

令，得，，得.

所以函数在上单调递增，在上单调递减，则.

所以

由洛必达法则有所以当时，，大致图象如图.

(或者由幂函数，指数函数，对数函数中，当时，指数函数的变化速度比幂函数和对数函数快得多，也可以说明以当时，)

当，即时，方程无实数根，即函数无零点.

当，即时，方程有1个实数根，即函数有1个零点.

当，即时，方程无实数根，即函数无零点.

当，即时，方程有2个实数根，即函数有2个零点.

综上，当时，无零点；

当时，只有一个零点；

当时，有两个零点.