Question

【题目】在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点、，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线经过椭圆的右焦点，是椭圆上两点，四边形是菱形，求直线的方程；

（3）已知直线不经过椭圆的右焦点，直线，，的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）由已知得：，问题得解；

（2）由已知可得：，设直线l方程为：，,，与椭圆方程联立可得：，由韦达定理，得：，，最后由，可得：，代入解方程即可；

（3）设直线l方程为：，由已知可得：，即，化简得：，有已知可得:，联立直线与椭圆方程得：，由，

和可求b的取值范围.

（1）由可得：，

从而，所以椭圆方程为.

（2）由于四边形是菱形，因此且.

由对称性，在线段上. 因此，分别关于原点对称；

并且由于菱形的对角线相互垂直，可得，即.

设直线l方程为：，且,

与椭圆方程联立可得：，

，，

由，可得：

解得，即直线方程为.

（3）设直线l方程为：，

，由已知可得：

，即.

，

化简得：.

若，则经过，不符合条件，

因此.

联立直线与椭圆方程得：.

因为，即

由得：

将代入得：，

解得：

令，则

当时，，

在或上单调递减，

或

所以b的取值范围为：.