Question

已知数列a₁，a₂，…a₃₀，其中a₁，a₂，…a₁₀，是首项为1，公差为1的等差数列；列a₁₀，a₁₁，…a₂₀，是公差为d的等差数列；a₂₀，a₂₁，…a₃₀，是公差为d²的等差数列（d≠0）．
（1）若a₂₀=40，求d；
（2）试写出a₃₀关于d的关系式，并求a₃₀的取值范围；
（3）续写已知数列，使得a₃₀，a₃₁，…a₄₀，是公差为d³的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

Answer 1

分析：（1）根据原等差数列的首项和公差求出a₁₀，根据a₂₀的值，由a₁₀，a₁₁，…a₂₀，是公差为d的等差数列，利用等差数列的性质列出关于d的方程，求出方程的解即可得到d的值；（2）由a₂₀，a₂₁，…a₃₀，是公差为d²的等差数列，利用等差数列的性质表示出a₃₀是关于d的二次函数，根据d不等于0，利用二次函数即可求出a₃₀的取值范围；（3）根据题意归纳出：当n≥1时，数列a_10n，a_10n+1，…，a_10（n+1）是公差为dⁿ的等差数列，可以续写已知数列，并利用类似（2）中的方法归纳出a_10（n+1）的取值范围．

解答：解：（1）a₁₀=1+9=10．a₂₀=10+10d=40，∴d=3．
（2）a₃₀=a₂₀+10d²=10（1+d+d²）（d≠0），
a₃₀=10[(d+

1

2

)2+

3

4

]，
当d∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，a₃₀∈[7.5，+∞）
（3）所给数列可推广为无穷数列{a_n]，
其中a₁，a₂，…，a₁₀是首项为1，公差为1的等差数列，
当n≥1时，数列a_10n，a_10n+1，…，a_10（n+1）是公差为dⁿ的等差数列．
研究的问题可以是：试写出a_10（n+1）关于d的关系式，并求a_10（n+1）的取值范围．
研究的结论可以是：由a₄₀=a₃₀+10d³=10（1+d+d²+d³），
依此类推可得a_10（n+1）=10（1+d+…+dⁿ）=

10× 1-dn+1 1-d ，d≠1 10(n+1)，d=1

．
当d＞0时，a_10（n+1）的取值范围为（10，+∞）等．

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题，会根据特例总结归纳出一般性的规律，是一道中档题．