Question

【题目】已知函数f(x)＝－x3＋2x2＋2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是(　　)

A. [6，＋∞)B. (－∞，2]

C. [2,6]D. [5,6]

Answer 1

【答案】C

【解析】

先求函数的导数，进而求出切线的斜率，由两直线垂直斜率之积等于﹣1，得到4x0﹣x02+2=m，再由二次函数求出最值即可．

函数f（x）=﹣x3+2x2+2x的导数为f′（x）=﹣x2+4x+2．

曲线f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率为4x0﹣x02+2，

由于切线垂直于直线x+my﹣10=0，则有4x0﹣x02+2=m，

由于0≤x0≤3，由4x0﹣x02+2=﹣（x0﹣2）2+6，对称轴为x0=2，

当且仅当x0=2，取得最大值6；

当x0=0时，取得最小值2．故m的取值范围是[2，6]．

答案：C