Question

如图；已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:设圆T与椭圆C交于点M、N.

（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程;
（3）设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点，且直线MP,NP分别与轴交于点R，S，O为坐标原点。求证：为定值.

Answer 1

（1）（2）取得最小值为-，圆T的方程为：；
（3）

解析试题分析：（1）椭圆C:的离心率为
由椭圆的左顶点为，所以可得椭圆的标准方程；
（2）点M与点N关于轴对称，设，
 ，再根据的取值范围求出的最小值，并由取得最小值的条件确定，进而确定圆的半径.
（3）设点,利用点分别是直线 与轴的交点，把 用表示,
而,结合点都在椭圆上,将表达式化简即可.
试题解析：
解：（1）由题意知解之得；，由得b=1，
故椭圆C方程为;3分
（2）点M与点N关于轴对称，
设 不妨 设.
由于点M在椭圆C上，,
由已知,
,
阶段;
由于故当时，取得最小值为-,
当时，故又点M在圆T上，代入圆的方程得,故圆T的方程为：；...8分
（3）设，则直线MP的方程为
令，得，同理, 故，10分
又点M与点P在椭圆上，故 ，
得，
为定值．.14分
考点：1、椭圆的标准方程；2、圆的标准方程序；3、向量的数量积；4直线的方程.