Question

【题目】已知函数.

讨论极值点的个数；

若有两个极值点，证明：的极大值大于.

Answer 1

【答案】当时，无极值点；当时，有两个极值点；当时，只有一个极值点；证明见解析.

【解析】

求导得，再分类讨论，，三种情况，即可得出结果；

由知，当时，有两个极值点，，，所以，则在内为增函数，在内为减函数，在内为增函数，所以的极大值点为.由，得，所以，构造新函数，利用导数研究单调性，进而求证的极大值大于.

解：的定义域为，.

令，，

当时，，故无极值点；

当时，，设，是方程的两根，则，，

则当时，，所以只有一个极值点；

当时，有两个极值点.

综上，当时，无极值点；当时，有两个极值点；当时，只有一个极值点.

证明：由知，当时，有两个极值点，，，所以，

则在内为增函数，在内为减函数，在内为增函数，所以的极大值点为.

由，得，所以.

令，其中，则，

当时，，在上单调递减，所以当时，，所以的极大值大于.