Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，∠BAE=90°，且AD⊥AE．

（1）证明：平面AEC⊥平面BED．
（2）求直线EC与平面BED所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以A为原点，AE、AB、AD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系

设正方形边长为2，则E（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，2），D（0，0，2）

=（0，2，2）， =（0，﹣2，2）， =（2，0，0）， =（﹣2，0，2），

从而有 =0， =0，

即BD⊥AC，BD⊥AE，

因为AC∩AE=A，

所以BD⊥平面AEC，

因为BD平面BED，

所以平面BED⊥平面AEC

（2）解：设平面BED的法向量为 =（x，y，z），

则 ，故取 =（1，1，1）

而 =（﹣2，2，2），设直线EC与平面BED所成的角为θ，

则有sinθ=|cos＜ ， ＞|=

【解析】（1）以A为原点，AE、AB、AD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，证明 =0， =0，可得BD⊥AC，BD⊥AE，即可证明BD⊥平面AEC，从而平面AEC⊥平面BED．（2）求出平面BED的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线EC与平面BED所成角的正弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．