Question

【题目】已知函数f（x）=2sinxcos（x+ ）+ ．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间[0， ]上的最大值及最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=2sinxcos（x+ ）+ =2sinx（ cosx﹣ sinx）+ =sinxcosx﹣ sin2x+

= sin2x﹣ + =sin（2x+ ）．

令2kπ+ ≤x≤2kπ+ ，求得kπ+ ≤x≤kπ+ ，可得函数的减区间为[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z．

（2）解：在区间[0， ]上，2x+ ∈[ ， ]，

故当2x+ = 时，函数f（x）取得最大值为1；当2x+ = 时，函数f（x）取得最小值为﹣

【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递减区间．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[0， ]上的最值．
【考点精析】本题主要考查了正弦函数的单调性和三角函数的最值的相关知识点，需要掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数；函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，才能正确解答此题．